工程数学基础

特征值与特征向量

基本公式

对于一个给定的线性变换A，它的特征向量v经过这个线性变换的作用后，得到的新向量仍与原来的v保持在同一条直线上，只产生长度或方向上的变化。

$Av = \lambda v$

其中$\lambda$为标量，即特征向量的长度在该线性变换下缩放的比例，称之为特征值。

由上面式子可得特征值的求解：

$Av - \lambda v = 0$ $(A-\lambda I)v = 0$ $|A- \lambda I| = 0$

应用

特征值和特征向量可以用于矩阵的对角化和解耦:

设一个新的矩阵 $P = [v_1 \: v_2]$，$v_1, \: v_2$是矩阵的特征向量，P被称为过渡矩阵

$$AP = A[v_1 \: v_2 ] = [\lambda_1 v_1 \: \lambda_2 v_2] = [v_1 \: v_2] \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$$

令$\Lambda = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$，则$AP=P \Lambda$，$P^{-1} A P = \Lambda$

可以通过这种方式来求解微分方程组：

已知$\dot{x} = Ax$，令$x = P y$，则$\dot{x} = P \dot{y}$，$Ax = APy$

回代，可得：$P \dot{y} = APy$，$\dot{y} = P^{-1}APy = \Lambda y$，由此公式求出 $y$的表达式，即可根据线性变化$A$求解$x$

线性化

若系统符合叠加原理，即可称为线性系统；对于非线性系统，可以通过线性化的方法来近似求解。

泰勒级数

泰勒展开： $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + \dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + ... + \dfrac{f^n(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$

若 $x-x_0 \rightarrow{0}$，则可认为包含高阶无穷小的项忽略不计，此时： $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) = k_1 + k_2 x - k_2 x_0 = k_2 x + b$

举例

令$\ddot{x} + \dot{x} + \dfrac{1}{x} = 1$，在平衡点附近线性化：

平衡点$\ddot{x} = \dot{x} = 0, \dfrac{1}{x} = 1$，此时 $x_0 = 1$

令$x_\delta = x_0 + x_d$，$x_d$是一个较小的值，带入后用泰勒公式线性化非线性的项 $\dfrac{1}{x_\delta}$： $f(x_0) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) \rightarrow \dfrac{1}{x_\delta} =\dfrac{1}{x_0} + \dfrac{-1}{x_0^2}x_d = 1 - x_d$ 此时原式：$\ddot{x_0}+\ddot{x_d} + \dot{x_0} + \dot{x_d} + 1-x_d = 1 \rightarrow{} \ddot{x_d} + \dot{x_d} + 1 - x_d = 1$

由此可得，线性化后的结果为：$\ddot{x_d} + \dot{x_d} - x_d = 0$

冲激响应与卷积

冲激响应

对于一个函数 $\delta(t)$： $\delta(t) = 0, t \ne 0$

$\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) dt = 1$， 宽度为0，面积为1

可通过辅助函数构建：

$$\delta_\Delta(t) = \begin{cases} \dfrac{1}{\Delta T}, & 0 < t < \Delta T \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$

卷积

将系统输入$f(t)$在时间上的作用划分为离散的小块 $\Delta{T}$，根据线性时不变系统的特性，系统在时间上作用的效果即为在所有时刻上输入响应的加和

在冲激响应的输入作用下，输入 $f(t)$与输出 $x(t)$的关系：

$f(t)$	$x(t)$
$\delta_\Delta(t)$	$h_\Delta(t)$
$\delta_\Delta(t - i \Delta T)$	$h_\Delta(t - i \Delta T)$
$A \delta_\Delta(t - i \Delta T)$	$A h_\Delta(t - i \Delta T)$
$\Delta T f(i \Delta T)\delta_\Delta(t - i \Delta T)$	$\Delta T f(i \Delta T) h_\Delta(t - i \Delta T)$

$t = i \Delta T$时刻，$X(t) = \sum_{i = 0}^{ i } \Delta T f(i \Delta T) h_\Delta(t - i \Delta T)$

当 $\Delta T$趋近于0时，$X(t) = \int_{0}^{t}f(\tau)h(t-\tau)d\tau = f(t)*h(t)$

$h(t)$可以完全的定义系统

卷积的拉普拉斯变换

定义

$y(t) = x(t)*h(t)$

$Y(s) = X(s)H(s)$

$X(s) = \mathcal{L}[x(t)] = \int_{0}^{\infty} x(t)e^{-st}dt$

$x(t)*g(t) = \int_{0}^{t}x(\tau)g(t-\tau)d\tau$

证明

证明：$\mathcal{L}[x(t)*g(t)] = X(s)G(s)$：

$$\begin{align} \mathcal{L}[x(t)*g(t)] & = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{t}x(\tau)g(t-\tau)d\tau e^{-st} dt \notag \\ & = \int_{0}^{\infty}\int_{\tau}^{infty}x(\tau)g(t-\tau)e^{-st}dt \notag \\ \text{令 $ t - \tau = u $}, & = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}x(\tau)g(u)e^{-s(u+\tau)}dud\tau \notag \\ & = \int_{0}^{\infty}x(\tau)e^{-s\tau}d\tau\int_{0}^{\infty}g(u)e^{-su}du \notag \\ & = X(s)G(s) \notag \end{align}$$

欧拉公式

$e^{i\theta} = cos\theta + i sin\theta$

欧拉公式证明：

令 $f(\theta) = \dfrac{e^{i\theta}}{cos\theta + isin\theta}$，

$$\begin{align} f'(\theta) & = \dfrac{ie^{i\theta}(cos\theta+isin\theta)-e^{i\theta}(-sin\theta+icos\theta)}{(cos\theta+isin\theta)^2} \notag \\ & = \dfrac{ie^{i\theta}cos\theta-e^{i\theta}sin\theta+e^{i\theta}sin\theta - e^{i\theta}icos\theta}{(cos\theta+isin\theta)^2} \notag \\ & = 0 \notag \end{align}$$

$f(\theta)$为常数，当$\theta = 0$时，$f(\theta) = f(0) = 1$，$e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta$

复数

• 代数表达：$z = a + bi$
• 几何表达：$\sqrt{a^2 + b^2}\angle{arctan \dfrac{b}{a}} = |z|\angle{\theta}$，$a = |z|cos\theta$，$b = |z|cos\theta$
• 指数表达：$z = \sqrt{a^2 + b^2}e^{i\frac{b}{a}} = |z|e^{i\theta}$